مبانی جبر پوران پژوهش اثر دکتر فقیهی

کتاب مبانی جبر تألیف دکتر سید احمد فقیهی انتشارات پوران پژوهش شامل درسنامه جامع مبانی جبر بهمراه مثال‌ها و تمرین‌های تألیفی متنوع با جواب‌های کاملا تشریحی

بخشی از مقدمه مؤلف کتاب مبانی جبر پوران پژوهش (دکتر سید احمد فقیهی)

آنچه که خوارزمی به عنوان جبر پایه‌گذاری کرد، حل معادلات جبری گوناگون (به ویژه معادلات درجه دوم) بود. در حال حاضر و بیشتر از این که با یافتن جوابهای یک معادله معین سروکار داشته باشیم، با این موضوع مواجه هستیم که در چه مجموعه‌هایی از اعداد، روش‌های ویژه یافتن جواب معادلات، معتبر هستند.

روشی که بیشتر ریاضی‌دانان قرن‌های اخیر به آن مبادرت می‌ورزند، روش «اصل موضوعی» نامیده می‌شود.

انتخاب اصول موضوعه یک کار صرفاً ذهنی نیست، معمولاً انتظار می‌‌رود که با این انتخاب به هدف معینی برسیم. همچنین تعداد اصول موضوعه نباید زیاد باشد، مجموعه‌هایی که این اصول را می‌سازند باید تا حد امکان ساده و شفاف باشند، همچنین هر اصل موضوع باید دارای یک تعبیر شهودی فوری باشد به طوری که توسط آن بتوان مستقیماً در مورد مناسب بودن آن قضاوت کرد.

امروزه جبر اهمیت ویژه‌ای پیدا کرده است؛ در آخرین تقسیم‌بندی که انجمن بین‌المللی ریاضیات انجام داده است، از حدود ۱۰۰ شاخه اصلی، تعداد زیادی مستقیماً مربوط به جبر می‌باشند که عبارتند از: نظریه گروه‌ها و تعمیم‌های آن، جبر همولوژی، حلقه‌ها و جبرهای شرکت‌پذیر،حلقه‌ها و جبرهای غیر شرکت‌پذیر، جبر خطی و جبر چندخطی، حلقه‌ها و جبرهای جابه‌جایی، نظریه میدان‌ها و چندجمله‌ای‌ها، جبرهای کلاسیک، سیستم‌های جبر عمومی، ساختارهای جبری مرتب، نظریه دسته‌ها و …

همچنین شاخه‌های مختلف مربوط به جبر، به خصوص نظریه گروه‌ها،علاوه بر اینکه کاربردهای زیادی در سایر شاخه‌های ریاضی دارند، درسایر علوم از جمله شیمی، فیزیک و علوم کامپیوتر کاربرردهای اساسی دارند.

تألیف این کتاب با نوعی نوآوری همراه بوده است که می‌توان به جامعیت کتاب ( که شامل مباحث مقدماتی تا مباحث پیشرفته است)، بیان مثال‌های زیاد برای فهم بهتر مفاهیم بنیادی، دقت‌نظر در جزییات، مسائل فراوان، حل تعداد زیادی از مسائل، مسائل تکمیلی (برای دانشجویان علاقه‌مند)، حل دقیق پرسش‌های چهارگزینه‌ای آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری و … اشاره کرد.

فهرست مطالب کتاب مبانی جیر پوران پژوهش تالیف دکتر فقیهی

مروری کوتاه بر مبانی ریاضیات

جایگشت‌ها

1. تجزیه یک جایگشت به دورهای مجزا و مرتبه یک جایگشت
2. جایگشت‌های زوج و فرد و مزدوج یک جایگشت

مقدمه‌ای بر نظریه گروه‌ها

1. تعریف و خواص مقدماتی گروه‌ها
2. زیرگروه‌ها، مرتبه یک عضو گروه، زیرگروه‌های دوری و گروه‌های دوری
3. هم‌دسته‌ها – قضیه لاگرانژ – ضرب معمولی زیرگروه‌ها
4. زیرگروه‌های نرمال و گروه‌های خارج قسمتی
5. همریختی‌ها و قضایای یکریختی در گروه‌ها
6. حاصل‌ضرب مستقیم گروه‌ها
7. زیرگروه‌های جابه‌جا‌گر، زیرگروه مشتق، گروه‌های پوچ توان و حل‌پذیر

مباحثی دیگر در گروه‌ها

1. خودریختی‌ها و خودریختی‌های داخلی یک گروه
2. رده‌های تزویجی معادله رده‌ای
3. ساختار گروه‌های آبلی متناهی مولد

مروری کوتاه بر مباحث پیشرفته در نظریه گروه‌ها

1. عمل گروه روی مجموعه و قضایای سیلو
2. کاربردهایی از قضایای سیلو و چند قضیه مهم دیگر

مسائل تکمیلی مربوط به گروه‌ها

مقدمه‌ای بر نظریه حلقه‌ها و میدان‌ها

1. تعریف و خواص مقدماتی حلقه‌ها، میدان‌ها، حوزه‌های صحیح و حلقه‌های تقسیم
2. زیرحلقه، ایده‌آل و حلقه‌های خارج قسمتی
3. ایده‌آل‌های اول و ماکسیمال
4. همریختی‌ها و قضایای یکریختی در حلقه‌ها، حاصل جمع مستقیم حلقه‌ها
5. حلقه چندجمله‌ای‌ها، تحویل‌ناپذیری چندجمله‌ای‌ها
6. رادیکال پوچ، رادیکال اول و رادیکال جیکوبسن در حلقه‌ها

مسائل تکمیلی مربوط به حلقه‌ها

مسائل و پرسش‌های چهارگزینه‌ای با پاسخ تشریحی