ریاضیات مهندسی – قسمت۲: توابع مختلط

کتاب ریاضیات مهندسی – قسمت دوم – توابع مختلط نشر شار با همکاری انتشارات دانشگاه تفرش تألیف: قلندرزاده، صفدری، طهرانچی

این کتاب بر اساس آخرین ویرایش کتاب ریاضیات مهندسی تالیف کرویت سیگ تهیه گردیده است.

بخشی از پیش گفتار کتاب:

تعمیم مباحث مربوط به حساب دیفرانسیل و انتگرال حقیقی در فضای مختلط موضوع اصلی این کتاب است که به توابع مختلط شهرت دارد و قسمت دوم درس ریاضی مهندسی را پوشش می دهد. اعداد مختلط در قرن شانزدهم میلادی ظاهر شدند و در قرن هجدهم توابعی شامل اعدا مختلط به وسیله اویلر ارائه شد. با این حال تا اواسط قرن نوزدهم میلادی استفاده از اعداد مختلط فراگیر نبود و به عنوان مثال ریشه های مختلط توسط دکارت پذیرفته نمی شد و اصطاح موهومی برای این ریشه ها به کار می رفت. اما پس از آن تا به امروز در پرتو نظریه توابع پیوسته با یک متغیر مختلط، اعمال مشتق و انتگرال در صفحه مختلط معنای جدیدی یافته و نتایج بسیار مفیدی در ریاضیات کاربردی را موجب شده اند.

فهرست مطالب کتاب و اهداف اصلی هر فصل:

اعداد و توابع مختلط

اعدا مختلط و صفحه مختلط مرور و معرفی می شوند که در توابع مختلط و توابع تحلیلی مختلط، مورد نیاز است. در بخشهای بعدی آزمونی برای تحلیلی بودن بر اساس معادلات کوشی-ریمان طرح شده است که این معادلات از اهمیت بنیادی برخوردار هستند و به معادله لاپلاس مربوط می شوند. این فصل شامل بخشهای زیر می باشد:

1. اعداد و صفحه مختلط
2. شکل قطبی اعدا مختلط، توان ها و ریشه ها
3. مشتق و تابع تحلیلی
4. معادلات کوشی – ریمان و معادله لاپلاس
5. تمرین های دوره ای فصل اول

توابع مقدماتی و نگاشت ها

در بخشهای این فصل به بررسی مهمترین تابع های مختلط مقدماتی (تابع نمایی، تابع های مثلثاتی و غیره) پرداخته شده است که تعمیم توابع حقیقی هستند که در حساب دیفرانسیل و انتگرال با آنها آشنایی داریم. این بررسی شامل بحث درباره ویژگی های هندسی این تابع ها در ارتباط با نگاشت همدیسی نیز هست. بنابراین بخش های این فصل عبارتنداز:

1. هندسه توابع تحلیل و نگاشت همدیس
2. تابع نمایی
3. توابع مثلثاتی و هذلولی
4. لگاریتم و توان
5. تبدیلات کسری خطی
6. رویه های ریمان (اختیاری)
7. تمرین های دوره ای فصل دوم

انتگرال گیری مختلط

این فصل به تعریف و توضیح انتگرالهای مختلط پرداخته شده است. مهمترین نتیجه در تمام فصل قضیه انتگرال کوشی است. فرمول مفید انتگرال کوشی از این قضیه به دست می آید در بخش انتهایی این فصل ثابت شده است که هرگاه یک تابع تحلیلی باشد، از هر مرتبه ای مشتق دارد. بنابراین، از این نظر، رفتار تابع های تحلیلی مختلط به مراتب از تابع های حقیقی مقدار متغیرهای حقیقی ساده تر است. بخشهای این فصل عبارتنداز:

1. انتگرال خط در صفحه مختلط
2. قضیه انتگرال کوشی
3. فرمول انتگرال کوشی
4. مشتقات توابع تحلیلی
5. تمرین های دوره ای فصل سوم

سری های توانی و تیلور مختلط

سری های توانی مختلط، به خصوص سری تیلور ، متناظر با سری های توانی و تیلور حقیقی هستند که در حساب دیفرانسیل و انتگرال حقیقی ملاحظه نمودید. ولی نقش آنها در انالیز مختلط بسیار اساسی تر از نقش صورت های حقیقی آنها است. زیرا سری های توانی نمایشگر توابع تحلیلی اند و به عکس. هر تابع تحلیلی دارای نمایشی به شکل یک سری توانی، موسوم به سری تیلور است. بخشهای این فصل عبارتنداز:

1. دنباله و سری مختلط
2. سری توانی مختلط
3. نمایش توابع با سری توانی
4. سری های تیلور و مکلورن مختلط
5. تمرین های دوره ای فصل چهارم

سری لوران و انتگرال گیری مانده ای

سری لوران یک سری مرکب از توان های صحیح مثبت و همچنین منفی z-z0 است که به وسیله آن می توان یک تابع داده شده f (z) را در یک طوق (یک حلقه دایره ای به مرکز z0) که در آن f (z) تحلیلی است نمایش داد. حتی f (z) می تواند تکینه هایی در خارج حلقه و نیز داخل حفره آن (دایره داخلی آن) داشته باشد.

1. معرفی سری لوران
2. تکین ها و صفرهای توابع
3. روش انتگرال گیری مانده ای
4. محاسبه انتگرال های حقیقی
5. تمرین های دوره ای فصل پنجم