ریاضیات مهندسی دانشگاه امیرکبیر واحد تفرش

کتاب آموزشی ریاضیات مهندسی موسسه فناوران اطلاعات امروز با همکاری دانشگاه صنعتی امیرکبیر واحد تفرش، تألیف: رمضانی، دهقان، رزاقی، مسگرانی

• مرجعی مناسب با دیدگاه ریاضیات کاربردی

بخشی از پیش گفتار کتاب:

یکی از درسهای مهم در اغلب رشته های مهندسی که به مثابه پلی بین نظریه ریاضی و فن مهندسی می باشد، درس ریاضیات مهندسی است. این درس دو قسمت کلی دارد که در ریاضیات عالی به هم وابسته می باشند. این دو قسمت عبارتنداز:

الف. توابع مختلط: این قسمت بسط همان حساب دیفرانسیل و انتگرال حقیقی در صفحه مختلط است. در پرتو نظریه توابع وابسته به یک متغیر مختلط اعمال مشتق و انتگرال در صفحه مختلط معنای جدیدی می یابند و نتایج بسیار مفیدی در ریاضیات کاربردی به دست می دهند.

ب. معادلات با مشتقات جزیی: این قسمت نیز در ادامه درس معادلات دیفرانسیل معمولی است برای معادلات دیفرانسیل هایی که به بیش از یک متغیر حقیقی وابسته می باشند. این نوع معادلات در عمل نیز بیشتر از معادلات دیفرانسیل معمولی پیش می آیند.

مرجعی مناسب با دیدگاه ریاضیات کاربردی: چون مخاطبان این کتاب دانشجویان غیر ریاضی هستند که برای آنها ریاضیات شهودی به جای ریاضیات دقیق مطرح است، لذا کتاب با دیدگاه ریاضیات کاربردی طوری گردآوری شده است که تفکر شهودی تقویت شود، در عین حال دقت ریاضی لطمه ای نبیند. در یک جمله سعی شده که فکر مهندسی بین شهود و دقت قرار گیرد.

محتویات این کتاب کامل تر و حتی فراتر از حد مورد انتظار به عنوان یک مرجع کامل برای کتابخانه شخصی هر مهندسی آورده شده است. به این دلیل که، کلاسهای دانشگاه در یک ترم چنان با سرعت برای پیروی از برنامه های معین آموزشی انجام می شوند که شاید دانشجویان حتی فرصت فکر کردن را برای اهداف درس پیدا نکنند. به این دلیل مناسب ترین فرصت برای یک دانشجوی جدی، داشتن یک کتاب کامل فراتر از بحث فشرده کلاسی است، تا سر فرصت با فراغ بال به مطالعه آن و تکمیل دانش خود بپردازد.

فهرست مطالب کتاب:

حساب دیفرانسیل توابع مختلط

1. اعداد مختلط
2. توابع مختلط: نواحی در صفحه مختلط – تعریف تابع مختلط – حدو پیوستگی توابع مختلط – مشتق توابع مختلط
3. توابع تحلیلی: معدله لاپلاس و توابع همساز – کاربردهای توابع همساز
4. خواص توابع مقدماتی مختلط
5. تصاویر نگاشت ها: نگاشت های مقدماتی و مرکب – نگاشت های کسری خطی – نگاشت های همدیس

حساب انتگرال توابع مختلط

1. انتگرال های مسیری: انتگرال های معین مختلط – خواص انتگرال مختلط
2. انتگرال کوشی: تابع اولیه مختلط و قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال
3. فرمول انتگرال کوشی و مشتقهای آن: مشتقات توابع تحلیلی

سری و مانده ها

1. دنباله و سری های مختلط: سری های عددی مختلط – سری های توابع مختلط
2. سری های تیلور و لوران: سری تیلور – سری لوران
3. نظریه مانده ها
4. کاربردهای مانده ها: محاسبه انتگرال های معین حقیقی – محاسبه انتگرال معکوس لاپلاس

سری های فوریه

1. توابع متعامد و سری های فوریه: تعاریف ضرب داخلی و تعامد توابع – بسط یک تابع با مجموعه توابع متعامد – مولد توابع متعامد
2. سری های فوریه توابع متناوب: سری فوریه مثلثلتی توابع متناوب – گسترش نیم دامنه – صورتهای دیگر سری فوریه – بسط سینوسی یا کسینوسی تنها – بسط فوریه مختلط – مشتق و انتگرال از سری فوریه – فرمولهای دیگر ضرایب فوریه – کاربردهای سری فوریه
3. انتگرال های فوریه: انتگرال فوریه به عنوان حد سری فوریه – مولد انتگرال های فوریه – کاربردهای انتگرال فوریه

معادلات دیفرانسیل جزیی

1. مفاهیم مقدماتی: معادلات دیفرانسیل جزیی مرتبه اول – معادلات دیفرانسیل جزیی خطی مرتبه دوم – روش جدایی پذیری (یا تفکیک پذیری)
2. مسایل گرما و پخش: مدل سازی مساله گرما – حل مساله گرما با روش جدایی پذیری – حل مسایل گرمای ناهمگن – حل مسایل گرمای نامتناهی به کمک انتگرال فوریه
3. مسایل ارتعاش و موج: مدل سازی مساله ارتعاش – حل مساله ارتعاش با روش جدایی پذیری – حل مسایل ارتعاش غیرهمگن – روش دالامبر برای حل معدله موج – معادلات مراتب بالاتر از دو
4. مسایل پتانسیل: توصیف مسایل پتانسیل – حل مساله پتانسیل با روش جدایی پذیری – معادله لاپلاس در مختصات قطبی – کاربرد نگاشت همدیس – حل مساله پواسن با تابع گرین

روش های تبدیل انتگرال

1. معرفی تبدیلات انتگرالی: تبدیلات فوریه نیمه نامتناهی – تبدیل فوریه نامتناهی – از تبدیل فوریه به تبدیل لاپلاس – تبدیلات فوریه متناهی – تبدیلات فوریه گسسته
2. کاربردهای تبدیلات انتگرالی: کاربرد تبدیل لاپلاس در حل مسایل با مشتقات جزیی – کاربرد تبدیل فوریه در حل مسایل با مشتقات جزیی – کاربرد تبدیلات فوریه و متناهی و گسسته

معادلات دیفرانسیل جزیی در ابعاد بالاتر

1. مسایل در مختصات دکارتی: مساله هلم هولتز و سری فوریه دوگانه – مساله موج دوبعدی – مساله گرمای دو و سه بعدی – معادله لاپلاس سه بعدی
2. مسایل در دستگاه های دیگر: مسایل گرما و موج در مختصات دوقطبی – سری فوریه بسل – ارتعاش یک غشای دایره ای – مساله هلم هولتز در دایره – گرما در یک صفحه دایره ای – مسایل در مختصات استوانه ای – مسایل در مختصلا کروی – سری فوریه لژاندر – مساله پتانسیل در مختصات کروی – تبدیلات هنکل

جواب تمرین های منتخب

راهنما

جدول تبدیلات فوریه

مراجع