معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن

کتاب آموزشی معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن نشر شار

• مرجعی مناسب با دیدگاهی کاربردی

بخشی از پیش گفتار کتاب:

جهان مادی که در آن زندگی می کنیم، تغییر یک امر بدیهی و دایمی است و معادلات دیفرانسیل وسیله ای برای مطالعه تغییرات می باشد. علت اصلی فراگیر شدن معادلات دیفرانسیل این است که مدل اغلب فرآیندهای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل ظاهر می شوند. در یک جمله می توان گفت: “درک علوم طبیعی با حداقل دید علمی، نیاز به معادلات دیفرانسل دارد”. از زاویه ای دیگر جالب است که برعکس تصورات رایج، معادلات دیفرانسیل منبع اکثر ایده ها و نظریه های آنالیز ریاضی نوین امروزی می باشد. پیش نیاز این درس مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال وابسته به یک متغیر (که اغلب در عمل متغیر زمان) است.

این کتاب با دیدگاه ریاضیات کاربردی برای یک ترم تحصیلی دوره کارشناسی برای تمام رشته های علوم و مهندسی نگارش شده است، به طوری که به نظریه های لازم، روشهای کافی تحلیلی برای حل و همچنین کاربردهای لازم و کافی معادلات دیفرانسیل معمولی در علوم و مهندسی اهمیت می دهد. بدون تردید قدرت و ارزش درس مهمی چون معادلات دیفرانسیل در توصیف مسایل کاربردی روشن می شود. در این کتاب ایجاد یک دورنما برای این درس کاربردی مهم می باشد. به این دلیل سعی شده است که جزئیات و روشهای کم اهمیت به عنوان تمرین در نظر گرفته شوند. در عوض به استخراج نتایج از جوابها توجه بیشتری شده است. همچنین یک دیدگاه کلی برای روشهای تحلیلی، عددی و توصیفی در برخورد با یک معادله دیفرانسیل ایجاد کند.

محتویات این کتاب به عنوان یک کتاب مرجع درسی، کامل تر و حتی فراتر از حد مورد انتظار یک کلاس درس معادلات دیفرانسیل گردآوری شده است.

فهرست مطالب کتاب:

مقدمه ای بر معادلات دیفرانسیل

1. تعاریف و اصطلاحات مقدماتی: معرفی معادلات دیفرانسیل – دسته بندی معادلات دیفرانسیل – نکات کلی در مورد جوابها – انواع جواب معادلات دیفرانسیل – روشهای مختلف حل
2. معادلات دیفرانسیل به عنوان مدلهای ریاضی: مدل معادلات مرتبه اول – مدل معادلات مرتبه دوم و بالاتر – مدل دستگاه های معادلات دیفرانسیل

معادلات مرتبه اول

1. نظریه های مقدماتی: توصیف منحنی های جواب بدون حل – وجود و یکتایی جواب
2. معادلات تفکیک پذیر: معادلات همگن و تغییر متغیرهای دیگر
3. معادلات کامل: فاکتورهای انتگرال ساز
4. معادلات خطی: معادلات خطی مرتبه اول – چند معادله غیر خطی مهم (برنولی، ریکاتی و کلرو)
5. روشهای دیگر حل: روشهای تقریبی – روشهای توصیفی – معادلات تفاضلی مرتبه اول

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر

1. مفاهیم مقدماتی لازم معادلات خطی: معادلات خطی مرتبه دوم – معادلات خطی همگن – روش کاهش مرتبه – معادلات غیرهمگن – روش تغییر پارامترها – معادلات خطی مرتبه های بالاتر
2. حل معادلات خطی همگن: معادلات خطی همگن مرتبه دوم با صرایب ثابت – معادلات خطی همگن با ضرایب ثابت مراتب بالاتر – معادلات با ضرایب غیر ثابت (معادلات کوشی، اویلر و …) – دستگاه های معادلات دیفرانسیل خطی همگن – معادلات تفاضلی خطی مرتبه دوم و بالاتر همگن – استفاده از نرم افزارهای ریاضی
3. حل معادلات غیر همگن: روش ضرایب نامعین – روشهای عملگری – حل معادلات تفاضلی غیرهمگن
4. نظریه مقدماتی معادلات با شرایط مرزی: مقادیر و توابع ویژه – مسایل اشتورم لیوویل – بسط توابع بر حسب توابع ویژه – حساب تغییرات – آشنایی با توابع گرین
5. معادلات غیرخطی: روشهای کاهش مرتبه با تغییر متغیر – استفاده از بسط تیلور – روش خطی سازی – روشهای ترسیمی – روش ادومیان

جواب های سری توانی

1. مروری بر سری های توانی
2. جوابها حول نقاط  عادی: نمایش جوابها بصورت سری توانی – سری تیلور جواب – معادلات غیرهمگن و یا ضرایب غیرچندجمله ای
3. جوابها حول نقاط غیر عادی: روش فروبنیوس
4. برخی معادلات فیزیک ریاضی: معادله لژاندر – معادله بسل – معادلات مهم دیگر (چبیشف، هرمیت و لاگر)

تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن:

1. معرفی تبدیل لاپلاس و معکوس آن: تعریف تبدیل لاپلاس – تبدیل معکوس لاپلاس – شرایط وجود تبدیل لاپلاس
2. اثر متقابل تبدیل لاپلاس با مشتق و انتگرال: تبدیل لاپلاس مشتق – تبدیل لاپلاس انتگرال – مشتق و انتگرال از تبدیل لاپلاس
3. قضایای انتقال و معرفی تابع ضربه: انتقال روی محور s (قضیه انتقال اول) – انتقال روی محور t (تابع پله ای واحد و قضیه انتقال دوم) – تابع دلتای دیراک
4. خاصیتها و کاربردهای بیشتر تبدیل لاپلاس: معرفی پیچش – معادلات انتگرالی – تبدیل لاپلاس و توابع متناوب – حل دستگاه های معادلات خطی با تبدیل لاپلاس

دستگاه های معادلات دیفرانسیل خطی

1. مفاهیم مقدماتی لازم: معرفی دستگاه های خطی – دستگاه های همگن – دستگاه های ناهمگن
2. حل دستگاه های خطی همگن: روش مقادیر و بردارهای ویژه
3. حل دستگاه های خطی غیرهمگن: روش ضرایب نامعین – روش تغییر پارامترها – ماتریس نمایی

نظریه توصیفی جوابهای معادلات دیفرانسیل

1. دستگاه های خودگردان: انواع جواب دستگاه خودگردان – معرفی پایداری و ناپایداری
2. پایداری دستگاه های خطی و غیرخطی: پایداری دستگاه های خطی – پایداری دستگاه های غیرخطی – پایداری دستگاه های غیرخطی مراتب بالاتر
3. روشهای مستقیم و نظریه لیاپانوف

جواب تمرین های منتخب

راهنما

جدول فرمولهای انتگرال

جدول فرمولهای تبدیل لاپلاس